Hajde da probam Petrov zadatak (ovaj koji je Nedeljko izneo sam upravo ja svojevremeno postavio na forum, pa nema smisla da opet pišem isto rešenje
).
Pođimo od identiteta
, za koji se lako vidi da važi za
(tada su obe strane jednake
), ali kako obe strane predstavljaju polinom po
stepena najviše
, i kako se poklapaju u
tački, sledi da identitet važi uvek. Stavljajući sada
ostaje
. Leva strana je jednaka
a desna predstavlja zbir prve polovine elemenata
-og reda Paskalovog trougla, a kako su oni (zbog simetričnosti Paskalovog trougla) jednaki drugoj polovini, zbir na desnoj strani iznosi
Deljenjem obeju strana sa
imamo identitet koji je trebalo dokazati.
Pao mi je na pamet i neki kombinatorni argument, ali o tom potom, kad proverim koliko to ima smisla. Naravno, bilo bi lepo zabeležiti i rešenje indukcijom, ali to bih prepustio nekom drugom.
[Ovu poruku je menjao Bojan Basic dana 11.03.2009. u 15:41 GMT+1]
Ljubičice crvena, što si plava kô zelena trava.