Dokazite da trougao cije su stranice prosti brojevi ne moze imati cjelobrojnu povrsinu.
Pretpostavimo suprotno da trougao cije su stranice p,g,r prosti brojevi ima cjelobrojnu povrsinu.Tada je ph1=qh2 i h1,h2 cijeli brojevi.Kako su p i g relativno prosti slijedi da je h2=px,odakle slijedi da je h2>p sto je kontradikcija.
Pri tome nisam uopste koristio da je treca stranica prost broj.Doduse mogao sam uzeti p,r ili q,r na isti nacin.Jel korektno ovo ?
Mogu se posmatrati slijedeci slucajevi:p,g,r jednaki ili postoje 2 stranice koje nisu.Neka su to npr p i q.Tada iz cinjenice da je ph1=qh2 ,h1 i h2 cijeli i (p,q)=1,slijedi h2=px, tj h2>=p a to je nemoguce pa imamo kontradikciju sa pretpostavkom da je povsina cio broj.
Pretpostavimo suprotno da trougao cije su stranice p,g,r prosti brojevi ima cjelobrojnu povrsinu.Tada iz P=(p*h1)/2=(q*h2)/2=(r*h3)/2 i kako je povrsina trougla cijeli broj slijedi da je bar jedna od stranica h1,h2,h3 cio broj tacnije oblika 2k.Cak i u slucaju da je p=q=2,r>2 imamo da mora biti h3 cio broj.Kako je qh2=rh3,h3 parno cak stavise slijedi da je i h2 cio broj.
Tada se moze posmatrati h3=q*x kao sto sam napisao i slijedi da je h3 vece ili jednako od q sto je nemoguce jer je q hipotenuza a h3 kateta tog pravouglog trougla.Odakle slijedi da povrsina trougla ne moze biti cjelobrojna.
U slucaju kada je p=q=r imamo jednakostranicni trougao,korijen iz 3 je iracionalan pa P ne moze biti cjelobrojna.
Korisne su mi ove vase primjedbe,imali sta da nije korektno.
Jedino što još moraš potvrditi jeste da uvek možeš izabrati dve stranice koje su NEPARNI prosti brojevi - naime, ako bi dve stranice imale dužinu 2, onda bi ti se ta dvojka skratila s imeniocem iz izraza za površinu i ne bi imao argument. No, to možeš lako dokazati analizom Heronove formule.